Question

10．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值为10，则函数在x=2处的切线斜率为17．

Answer 1

分析 对函数f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得：f′（1）=0，f（1）=10，
即$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=0}\\{1+a+b{+a}^{2}=10}\end{array}\right.$，解得：a=4，b=-11或a=-3，b=3，
当a=-3，b=3时，f′（x）=3（x-1）²≥0，∴在x=1处不存在极值；
当a=4，b=-11时，f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1）
∴x∈（-$\frac{11}{3}$，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴适合
∴f（x）=x³+4x²-11x+16，
∴f′（x）=3x²+8x-11，k=f′（2）=12+16-11=17，
故答案为：17．

点评 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，即在该点处导函数值为0，是一道基础题．