Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=1，S_n=3S_n-1+1（n＞1，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=3S_n-1+1（n＞1，n∈N^*）得S_n+1=3S_n+1，
∴S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），即a_n+1=3a_n，（n＞1，n∈N^*），
又a₁=1，得S₂=3a₁+1=a₁+a₂，
∴a₂=3，∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴T_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．