Question

6．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人作为样本，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本100人中抽取日平均生产件数[60，70）的工人，求“25周岁以上组”和“25周岁以下组”工人的各抽取多少人？
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：x²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$

P（x2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根据分层抽样原理，结合频率分布直方图，求出每组应抽取的人数；
（2）由频率分布直方图，计算各组对应的生产能手数，填写2×2列联表，计算K²的值，从而得出统计结论．

解答 解：（1）根据分层抽样原理，得；
样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，
所以，“25周岁以上组”应抽取60×0.035×10=21人，
“25周岁以下组”应抽取40×0.025×10=10人；
（2）由频率分布直方图知，在抽取的100名工人中，
“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15（人），
“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15（人），
据此可得2×2列联表如下：

	生产能手	非生产能手	合计
25周岁以上组	15	45	60
25周岁以下组	15	25	40
合计	30	70	100

所以得：K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（15×25-15×45）}^{2}}{60×40×30×70}$=$\frac{25}{14}$≈1.79；
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，考查了2×2列联表的应用问题，是基础题目．