Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=-$\frac{2}{3}$，且满足S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$（n≥2），则S₂₀₁₅等于（　　）

• A． $-\frac{2013}{2014}$
• B． $-\frac{2014}{2015}$
• C． $-\frac{2015}{2016}$
• D． $-\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 通过将a_n=S_n-S_n-1代入S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$（n≥2），整理即得S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，写出n=1、2、3时对应的值，猜测通项公式并用数学归纳法证明，进而可得结论．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{S_n}+2={a_n}$=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n-1+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=0，
∴S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，
∵S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，
∴S₂=-$\frac{1}{2+{S}_{1}}$=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
S₃=-$\frac{1}{2+{S}_{2}}$=-$\frac{1}{2-\frac{3}{4}}$=-$\frac{4}{5}$，
…
猜测：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
下面用数学归纳法来证明：
（1）当n=1时显然成立；
（2）假设当n=k≥2时，有S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$，
∴S_k+1=-$\frac{1}{2+{S}_{k}}$=-$\frac{1}{2-\frac{k+1}{k+2}}$=-$\frac{1}{\frac{k+3}{k+2}}$=-$\frac{（k+1）+1}{（k+1）+2}$；
综上所述：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
∴S₂₀₁₅=-$\frac{2015+1}{2015+2}$=-$\frac{2016}{2017}$，
故选：D．

点评 本题考查求数列的前n项和，考查数学归纳法等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．