Question

3．（1）设a＞b＞0，试比较$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$与$\frac{a-b}{a+b}$的大小．
（2）设不等式x²-4x+3＜0的解集为A，不等式x²+x-6＞0的解集为B．若不等式x²+ax+b＜0的解集为A∩B，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用作差法判断$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$与$\frac{a-b}{a+b}$的大小即可；
（2）解不等式，求出A、B以及A∩B，再由根与系数关系，求出a、b的值．

解答 解：（1）a＞b＞0时，
$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{a-b}{a+b}$=$\frac{2ab（a-b）}{{（a}^{2}{+b}^{2}）（a+b）}$＞0，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\frac{a-b}{a+b}$；
（2）解不等式x²-4x+3＜0，得A={x|1＜x＜3}，
解不等式x²+x-6＞0，得B={x|x＜-3，或x＞2}；
∴A∩B={x|2＜x＜3}，
∴不等式x²+ax+b＜0的解集为（2，3）；
由根与系数关系得
$\left\{\begin{array}{l}{-a=2+3}\\{b=2×3}\end{array}\right.$；
 解得a=-5，b=6．

点评 本题考查了作差法比较大小的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．