Question

10．已知函数y=x³+3ax²-9x+1，x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求函数的极值．
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调减函数．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入函数的解析式，求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）先求出函数f（x）的导数，通过讨论x的范围，分离出关于a的不等式，结合函数的单调性从而求出a的范围．

解答 解：（1）a=-1时，y=x³-3x²-9x+1，x∈[-5，5]，
∴y′=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴函数在[-5，-1），（3，5]递增，在（-1，3）递减，
∴y_极大值=y|_x=-1=6，y_极小值=y|_x=3=-26；
（2）若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调减函数，
则f′（x）=3x²+6ax-9≤0在[-5，5]上恒成立，
①x=0时，-9≤0，成立，
②-5≤x＜0时，a≥-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2x}$在[-5，0）上恒成立，
令g（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2x}$，则g′（x）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{{2x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在[-5，0）单调递减，
∴g（x）_最大值=g（-5）=$\frac{11}{5}$，
∴a≥$\frac{11}{5}$；
③0＜x≤≤5时，a≤-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2x}$在（0，5]上恒成立，
由②得g（x）在（0，5]上递减，
∴g（x）_最小值=g（5）=-$\frac{11}{5}$，
∴a≤-$\frac{11}{5}$，
故a的范围是（-∞，-$\frac{11}{5}$]∪[$\frac{11}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．