Question

2．已知函数f（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1（x∈R），设其最小值为g（a）（ x∈R）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）若g（a）=$\frac{1}{2}$，求a及此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①-1$≤\frac{a}{2}≤1$时②$\frac{a}{2}＞1$时③$\frac{a}{2}＜-1$时，根据二次函数求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；
（2）把$\frac{1}{2}$代入到第一问的g（a）的第二和第三个解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．

解答 解：（1）f（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1
=-2+2cos²x-2acosx-2a+1
=2cos²x-2acosx-2a-1
=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，
当-1$≤\frac{a}{2}≤1$时，即-2≤a≤2，则当cosx=$\frac{a}{2}$时，f（x）有最小值g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1；
当$\frac{a}{2}＞1$时，即a＞2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=$2（1-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1$=-4a+1；
当$\frac{a}{2}＜-1$时，即a＜-2，则当cosx=-1时，f（x）有最小值g（a）=$2（-1-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1$=1；
（2）若g（a）=$\frac{1}{2}$，由所求g（a）的解析式知只能是-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=$\frac{1}{2}$或1-4a=$\frac{1}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得：a=-1或a=-3（舍）．由$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{1-4a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得：a=$\frac{1}{8}$（舍）．
此时f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，得f（x）_max=5．
∴若g（a）=$\frac{1}{2}$，应a=-1，此时f（x）的最大值是5．

点评 本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性，属于基本知识的考查．