Question

10．已知平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于P点．
（1）求$\overrightarrow{AD}$对应的复数；
（2）求$\overrightarrow{DB}$对应的复数；
（3）求△APB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据复数的几何意义以及复数的基本运算即可求$\overrightarrow{AD}$对应的复数；
（2）根据复数的几何意义以及复数的基本运算即可$\overrightarrow{DB}$对应的复数；
（3）根据条件求出复数的模长以及根据三角形的面积公式即可△APB的面积．

解答 解析　（1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=（1，4）-（3，2）=（-2，2），
∴与$\overrightarrow{AD}$对应的复数为-2+2i．
（2）$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$=（3，2）-（-2，2）=（5，0），
∴与$\overrightarrow{DB}$对应的复数为5．
（3）由（1）可知|$\overrightarrow{AD}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{DB}$|=5，
由余弦定理，求得
cosA=$\frac{8+13-25}{2•2\sqrt{2}•\sqrt{13}}$=$\frac{-4}{4\sqrt{26}}$．
∴cosA=$\frac{-1}{\sqrt{26}}$，∴sinA=$\frac{5}{\sqrt{26}}$．
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$•|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•sinA=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{13}$•2$\sqrt{2}$•$\frac{5}{\sqrt{26}}$=5．
∴S_△ADB$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查复数的基本运算以及复数的几何意义，利用复数的几何意义以及余弦定理求三角形的面积．