Question

20．正实数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为2，x+y的最小值为$4\sqrt{2}-3$．

Answer 1

分析 正数x，y满足xy+x+2y=6，可得x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．可得xy=$\frac{y（6-2y）}{y+1}$，x+y=$\frac{6-2y}{y+1}$+y，化简整理利用基本不等式即可得出．

解答 解：∵正数x，y满足xy+x+2y=6，
∴x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．
∴xy=$\frac{y（6-2y）}{y+1}$=-2（y+1+$\frac{4}{y+1}$）+10
≤-2×2$\sqrt{（y+1）•\frac{4}{y+1}}$+10=2，当且仅当y=1，x=2时取等号．
∴xy的最大值为2．
∵正数x，y满足xy+x+2y=6，
∴x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．
∴x+y=$\frac{6-2y}{y+1}$+y=（y+1）+$\frac{8}{y+1}$-3
≥2$\sqrt{（y+1）•\frac{8}{y+1}}$-3=4$\sqrt{2}$-3，当且仅当y=2$\sqrt{2}$-1，x=2$\sqrt{2}$-2时取等号．
∴x+y的最小值为4$\sqrt{2}$-3．
故答案为：2，$4\sqrt{2}-3$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于中档题．