Question

8．已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax在[2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为[0，4+2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$+3x²-2x-a=$\frac{x[3{ax}^{2}+（3-2a）x-{（a}^{2}+2）]}{ax+1}$，
因为f（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
①若a=0，则f′（x）=x（3x-2），
此时f（x）在[2，+∞）上为增函数成立，故a=0符合题意，
②若a≠0，由ax+1＞0对x＞2恒成立知a＞0，
所以3ax²+（3-2a）x-（a²+2）≥0对x∈[2，+∞）上恒成立，
令g（x）=3ax²+（3-2a）x-（a²+2），其对称轴为x=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2a}$，
因为a＞0，所以$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{3}$，从而g（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以只要g（2）≥0即可，即-a²+8a+4≥0成立，
解得4-2$\sqrt{5}$≤a≤4+2$\sqrt{5}$，又因为a＞0，所以0＜a≤4$+2\sqrt{5}$，
综上：0≤a≤4+2$\sqrt{5}$即为所求，
故答案为：[0，4+2$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．