Question

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₇=7，S₁₅=75，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{S_n}{n}$，求证数列{b_n}是等差数列，并求其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₇=7，S₁₅=75，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+21d=7}\\{15{a}_{1}+105d=75}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=-2+（n-1）=n-3．
（2）证明：由（1）可得：S_n=$\frac{n（-2+n-3）}{2}$=$\frac{n（n-5）}{2}$，
∴b_n=$\frac{S_n}{n}$=$\frac{n-5}{2}$，
∴当n≥2时，b_n-b_n-1=$\frac{n-5}{2}$-$\frac{n-6}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为-2，公差为$\frac{1}{2}$．
∴其前n项和T_n=$\frac{n（-2+\frac{n-5}{2}）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-9n}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题