Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₆=21
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ．利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=2，S₆=21，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{6{a}_{1}+15d=21}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题