【题目】已知抛物线过点
,
是抛物线
上异于点
的不同两点,且以线段
为直径的圆恒过点
.
(I)当点与坐标原点
重合时,求直线
的方程;
(II)求证:直线恒过定点,并求出这个定点的坐标.
【答案】(I); (II)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)首先求得抛物线的方程,然后求得AO的斜率,最后利用直线垂直的充分必要条件可得直线的方程;
(Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程,结合韦达定理得到系数之间的关系,然后结合直线方程的形式即可证得直线恒过定点.
(I)因为在抛物线
上,所以
,
所以,抛物线
.
当点与点
重合时,易知
,
因为以线段为直径的圆恒过点
,所以
.所以
.
所以,即直线
的方程为
.
(II)显然直线与
轴不平行,设直线
方程为
.
,消去
得
.
设,因为直线
与抛物线交于两点,
所以 ①
因为以线段为直径的圆恒过点
,所以
.
因为是抛物线上异于
的不同两点,所以
,
.
,同理得
.
所以,即
,
.
将 ①代入得, ,即
.
代入直线方程得.
所以直线恒过定点
.
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【题目】如图,在三棱锥中,
底面ABC,
点D,E分别为棱PA,PC的中点,M是线段AD的中点,N是线段BC的中点,
,
.
Ⅰ
求证:
平面BDE;
Ⅱ
求直线MN到平面BDE的距离;
Ⅲ
求二面角
的大小.
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【题目】已知直线与抛物线
:
交于
,
两点,且
的面积为16(
为坐标原点).
(1)求的方程.
(2)直线经过
的焦点
且
不与
轴垂直,
与
交于
,
两点,若线段
的垂直平分线与
轴交于点
,试问在
轴上是否存在点
,使
为定值?若存在,求该定值及
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照,
,… ,
分成
组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )
①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为;
②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为;
③若该商场有名职工,考试成绩在
分以下的被解雇,则解雇的职工有
人;
④若该商场有名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过
分(包括
分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有
人.
A.①③B.②③C.②④D.①④
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【题目】2019年3月2日,昌平 “回天”地区开展了种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有
种活动既在上午开展、又在下午开展,
种活动只在上午开展,
种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动,且分别安排在上、下午,那么不同安排方案的种数是___________.
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【题目】如图所示,是某海湾旅游区的一角,其中
,为了营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定在直线海岸
和
上分别修建观光长廊
和AC,其中
是宽长廊,造价是
元/米,
是窄长廊,造价是
元/米,两段长廊的总造价为120万元,同时在线段
上靠近点
的三等分点
处建一个观光平台,并建水上直线通道
(平台大小忽略不计),水上通道的造价是
元/米.
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目,要求
的面积最大,那么
和
的长度分别为多少米?
(2) 在(1)的条件下,建直线通道还需要多少钱?
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【题目】小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学,在学习向量三点共线定理时,我们知道当P、A、B三点共线,O为直线外一点,且时,x+y=1(如图1)第二天,小郭提出了如下三个问题,请同学帮助小郭解答.
(1)当x+y>1或x+y<1时,O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系?写出你的结论,并说明理由
(2)如图2,射线OM∥AB,点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,求实数x的取值范围,并求当
时,实数y的取值范围.
(3)过O作AB的平行线,延长AO、BO,将平面分成如图3所示的六个区域,且,请分别写出点P在每个区域内运动(不含边界)时,实数x,y应满足的条件.(不必证明)
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【题目】商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格
(单位:元/千克)满足关系式
,其中
,
为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1) 求的值;
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大
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