Question

15．对于函数f（x）、g（x）和区间D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则称x₀是函数f（x）与g（x）在区间D上的“互相接近点”．现给出两个函数：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2；
②$f（x）=\sqrt{x}$，g（x）=x+2；
③f（x）=e^-x+1，$g（x）=-\frac{1}{e}$；
④f（x）=lnx，g（x）=x．
则在区间（0，+∞）上存在唯一“互相接近点”的是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 分别求出|f（x）-g（x）|的最小值即可判断出“互相接近点”的个数．

解答 解：对于①，f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
令|（x-1）²+1|≤1得x=1．
∴f（x）与g（x）在（0，+∞）上有唯一“互相接近点”．
对于②，g（x）-f（x）=x-$\sqrt{x}$+2=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
∴f（x）与g（x）在（0，+∞）上没有“互相接近点”．
对于③，f（x）-g（x）=e^-x+1+$\frac{1}{e}$＞1+$\frac{1}{e}$＞1，
∴f（x）与g（x）在（0，+∞）上没有“互相接近点”．
对于④，令y=g（x）-f（x）=x-lnx，则y′=1-$\frac{1}{x}$，
∴当0＜x＜1时，y′＜0，当x＞1时，y′＞0，
∴y=x-lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，y取得极小值即最小值1，
∴f（x）与g（x）在（0，+∞）上有唯一“互相接近点”．
故选D．

点评 本题考查了函数单调性与函数最值的计算，属于中档题．