Question

在△ABC中，记∠BAC=x（角的单位是弧度制），△ABC的面积为S，且

AB

•

AC

=8，4≤S≤4

3

．
（1）求x的取值范围；
（2）就（1）中x的取值范围，求函数f(x)=

3

sin2x+cos2x的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）由条件可得bccosx=8，S=4tanx，即1≤tanx≤

3

，从而求得x的取值范围．
（2）化简函数的解析式为 2sin(2x+

π

6

)，由

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，可得

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，从而求得函数
的最大值及最小值．

解答：解：（1）∵∠BAC=x，

AC

•

AB

=8，4≤S≤4

3

，又S=

1

2

bcsinx，
∴bccosx=8，S=4tanx，即1≤tanx≤

3

．∴所求的x的取值范围是

π

4

≤x≤

π

3

．
（2）∵

π

4

≤x≤

π

3

，f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

．∴f(x)min=f(

π

3

)=1，f(x)max=f(

π

4

)=

3

．

点评：本题考查两角和正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域，值域，根据三角函数的值求角，化简函数的
解析式为 2sin(2x+

π

6

)，是解题的关键．