Question

如图，四棱锥的底面为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中，,平面底面，是的中点．

(1)求证://平面；
(2)求与平面BDE所成角的余弦值；
(3)线段PC上是否存在一点M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）详见解析；（2）cosCBN= ；（3）不存在点M满足题意.

试题分析：（1）证明BE∥平面PAD，只需证明AF∥BE；
（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN，证明∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角，从而可求BC与平面BDE所成角的余弦值；
（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD，则AM⊥PD，可得点M与E重合．取CD中点G，连接EG，AG，则BD⊥AG，证明PD⊥平面BCD，从而PD⊥AD，这与△PAD是等边三角形矛盾．
试题解析：(1)取PD中点F，连接AF, EF

则,
又，
∴
∴
∴四边形ABEF是平行四边形               2分
∴AF∥BE  又平面PAD，平面PAD
∴//平面                                     4分
（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN
∵平面底面，
∴平面
∴AF  又AF⊥PD，
∴AF⊥平面PCD
∴BE⊥平面PCD
∴BE⊥CN，又CN⊥DE，
∴CN⊥平面BDE
∴CBN就是直线与平面BDE所成角               7分
令AD=1，,易求得，
∴sinCBN=
∴cosCBN= 
故与平面BDE所成角的余弦值为                        9分
（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD 则AM⊥PD,由（2）AF⊥PD
∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF
故点M与E重合。                  1分
取CD中点G，连接EG,AG
易证BD⊥AG，又BD⊥AE
∴BD⊥平面AEG
∴BD⊥EG
∴BD⊥PD,又PD⊥CD
∴PD⊥平面BCD
从而PD⊥AD,这与⊿PAD是等边三角形矛盾
（另解坐标法）
证明：取AD中点O，连接PO∵侧面PAD是等边三角形 ∴PO⊥AD
又∵平面底面， ∴PO⊥平面ABCD             2分
设，如图建立空间坐标系，则

，,
，.          3分
（1），，
所以，
∵平面，∴平面.                     5分
（2），
设平面的一个法向量为
则   求得平面的一个法向量为；    7分
，                         8分
所以直线与平面所成角的余弦值为。   10分
（3）设存在点M(满足AM⊥平面PBD，则M、P、C三点共线
因为，所以存在实数，使得
即                  11分
∵AM⊥平面PBD  ∴      得（不合题意）
故在线段上不存在点M满足题意。                               14分