Question

【题目】已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．

（1）求实数的取值范围；

（2）记函数的两个零点为，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1） 在时取得极值,由的符号及函数的单调性可知为函数的极大值，所以有两个零点等价于 ，解之即可；（2） 不妨设，由题意知，两式相加可得即，欲证，只需证明：，只需证明：，即证即可，设，则只需证明：,构造函数，证即可.

试题解析： （1），

由，且当时，，当时，，

所以在时取得极值，所以，

所以，函数在上递增，在上递减，，

时，时，有两个零点，

故；．

（2）不妨设，由题意知，

则，

欲证，只需证明：，只需证明：，

即证：，

即证，设，则只需证明：，

也就是证明：，

记，∴，

∴在单调递增，

∴，所以原不等式成立，故得证．