Question

已知命题p：不等式|x-m|+|x-1|＞1的解集为R，命题q：f（x）=log_（3+m）x是（0，+∞）上的增函数．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则实数m的取值范围是

（-3，-2）∪[0，2]

．

Answer 1

分析：根据题意，首先分析、计算可得P、Q为真假命题时，m的取值范围，进而由题意“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，可得P、Q必然一真一假，分P真Q假与P假Q真两种情况讨论，可得每种情况下，m的取值范围，综合求并集可得答案．

解答：解：对于P，对于不等式|x-m|+|x-1|＞1，
由绝对值不等式的二性质可得：|x-m|+|x-1|≥|m-1|，
若|x-m|+|x-1|＞1的解集为R，只需|m-1|＞1，解可得m＜0或m＞2，
故当m＜0或m＞2时，命题p为真命题，当0≤m≤2时，命题p为假命题；
对于Q，
若f（x）=log_（3+m）x是（0，+∞）上的增函数，则3+m＞1，解可得m＞-2，
若f（x）=log_（3+m）x是（0，+∞）上的减函数，则0＜3+m＜1，解可得-3＜m＜-2，
故当m＞-2时，命题Q为真命题，当-3＜m＜-2时，命题Q为假命题；
若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则P、Q必然一真一假，
当P真Q假时，m的取值范围为{m|m＜0或m＞2}∩{m|-3＜m＜-2}=（-3，-2）；
当P假Q真时，m的取值范围为{m|0≤m≤2}∩{m|m＞-2}=[0，2]；
综合可得，m的取值范围为（-3，-2）∪[0，2]．
故答案为（-3，-2）∪[0，2]．

点评：本题考查命题真假的判断的运用，解题时的易错点为分析命题Q时，首先要保证对数函数底数的意义，即0＜3+m＜1或3+m＞1．