Question

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=8x的准线l的方程是x=-2；若双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线l交于M，N两点，且△MON的面积为8，则此双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的准线方程进行求解即可．根据准线和双曲线的渐近线的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：由y²=8x得抛物线的焦点在x轴，且2p=8，则p=4，$\frac{p}{2}$=2，
即抛物线的准线方程为x=-2，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
当x=-2时，y=±$\frac{2b}{a}$，
即M（-2，$\frac{2b}{a}$），N（-2，-$\frac{2b}{a}$），则KN=$\frac{4b}{a}$，
∵△MON的面积为8，
∴S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4b}{a}$=$\frac{4b}{a}$=8，
即b=2a，则c²=a²+b²=a²+4a²=5a²，
即c=$\sqrt{5}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：x=-2，$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查抛物线的准线的求解以及双曲线离心率的计算，根据相应的条件建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．