Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A=

π

3

，a=2

3

．设B=x，△ABC的周长为y．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由题意函数是由三边之和的模型，所以用正弦定理将角转化为边来求解，
（2）将y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

用辅助角法转化为y=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

求解．

解答：解（1）：△ABC的内角为A+B+C=π
由A=

π

3

，B＞0，C＞0得0＜B＜

2π

3

.（2分）
由正弦定得知：AC=

BC

sinA

sinB=

2 3

sin π 3

sinx=4sinx（4分）
AB=

BC

sinA

sinC=4sin(

2π

3

-x).因为y=AB+BC+AC
所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(0＜x＜

2π

3

).（7分）

（2）因为y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

（9分）
而0＜x＜

2π

3

，∴

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

.
当

π

6

＜x+

π

6

≤

π

2

，即0＜x≤

π

3

时，f(x)单调递增
当

π

2

≤x+

π

6

＜

5π

6

，即

π

3

≤x＜

2

3

π时，f（x）单调递减
∴y=f（x）的单调递增区间为(0，

π

3

]，递减区间为[

π

3

，

2

3

π)．（12分）

点评：本题主要考查三角形中的正弦定理实现边角转化以及辅助角法将一般的函数转化为一个角的一种三角函数用基本函数的性质来求解．