Question

点P在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上，F₁，F₂为两个焦点，若△F₁PF₂为直角三角形，这样的点P共有（　　）

A．4个

B．5个

C．6个

D．8个

Answer 1

分析：根据以焦距F₁F₂为直径的圆和椭圆有4个交点，可得存在4个以P为直角顶点的直角△F₁PF₂，再由椭圆的对称性可得以F₁F₂为一条直角边的直角△F₁PF₂也有4个，由此可得满足条件的点P共有8个．

解答：解：∵椭圆方程是

x2

25

+

y2

9

=1，
∴a=5，b=3，可得c=

25-9

=4
因此椭圆的焦点F₁（-4，0）和F₂（4，0），
由c＞b可得以F₁F₂为直径的圆和椭圆

x2

25

+

y2

9

=1有4个交点，
由直径所对的圆周角为直角，可得当P与这些交点重合时，
△F₁PF₂为直角三角形；
当直角△F₁PF₂以F₁F₂为一条直角边时，
根据椭圆的对称性，可得存在四个满足条件的直角△F₁PF₂
综上所述，能使△F₁PF₂为直角三角形的点P共有8个
故选：D

点评：本题给出椭圆方程，求椭圆上能与焦点构成直角三角形的点P的个数，着重考查了椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于基础题．