Question

已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x²，求证函数g（x）只有一个零点．

Answer 1

（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f′（x）=+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（+2x）_min　（x＞0），
∵x＞0，
∴+2x≥2，当且仅当x=时取“=”，∴b≤2，
∴b的取值范围为（-∞，2]．
（2）证明：当b=-1时，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=-2x+1=-，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0．
∴函数g（x）只有一个零点．
分析：（1）其导函数，利用f（x）在（0，+∞）上递增，可得f′（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，即可求得b的取值范围；
（2）当b=-1时，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），求导函数，确定合适的单调性，利用当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，分离参数，确定函数的最小值．