Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设两个极值点分别为x1 ， x2 ， 证明：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；

即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；

（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，

如右图．

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．

令切点A（x0，lnx0），

故k=y′|x=x0= ，又k= ，

故 = ，

解得，x0=e，

故k= ，

故0＜a＜ ．

（解法二）转化为函数g（x）= 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．

又g′（x）= ，

即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．

故g（x）极大=g（e）= ；

又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，

故g（x）的草图如右图，

可见，要想函数g（x）= 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，

只须0＜a＜ ．

（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，

而g′（x）= ﹣ax= （x＞0），

若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，

此时g（x）不可能有两个不同零点．

若a＞0，在0＜x＜ 时，g′（x）＞0，在x＞ 时，g′（x）＜0，

所以g（x）在（0， ）上单调增，在（ ，+∞）上单调减，从而g（x）极大=g（ ）=ln ﹣1，

又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，

于是只须：g（x）极大＞0，即ln ﹣1＞0，所以0＜a＜ ．

综上所述，0＜a＜ ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2，

设x1＞x2，作差得ln =a（x1﹣x2），即a=

原不等式 等价于ln ＞ ，

令 ，则t＞1， ，

设 ， ，

∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，

∴g（t）＞g（1）=0，

即不等式 成立，

故所证不等式 成立．

【解析】（Ⅰ）将函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点转化为其导函数在（0，+∞）有两个不同根进行解题；（Ⅱ）将问题变为对函数增减性的证明，可以先从所要证的结论出发进行分析，进而证明.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．