【题目】已知,
.
(1)求的解析式;
(2)求的值域;
(3)设,
时,对任意
总有
成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)令,则x=2t,故
.从而得出f(x)的解析式;
(2)设,
,下面对a进行分类讨论:①当a=0时,②当a>0时,③当a<0时,分别求出其值域即可;
(3)函数对任意x1,x2∈[-1,1],
,等价于h(x)在[-1,1]内满足其最大值与最小值的差小于等于
即可.
试题解析:
⑴设,则
.
;
⑵设,则
当 时,对称轴
,且抛物线开口向下,
的值域为
当 时,
,
的值域为
当 时,对称轴
,
在
上单调递减,在
上单调递增
的值域为
.
综上,当时
的值域为
;
当时
的值域为
.
⑶由题 .
对任意
总有
在
满足
设,则
,
当即
时
在区间
单调递增
(舍去)
当时,不合题意
当时,
若即
时,
在区间
单调递增
若即
时
在
递减,在
递增
若即
时
在区间
单调递减
(舍去)
综上所述: .
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【题目】某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系:
x | 30 | 40 | 45 | 50 |
y | 60 | 30 | 15 | 0 |
在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定y与x的一个函数关系式;
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
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【题目】已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,PA= a,AD=2a.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求异面直线AE与CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.
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【题目】设是两条不同的直线,
是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则
②若
,则
③若,则
④若
,则
其中正确命题的序号是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【题目】已知函数f(x)=xlnx﹣ x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设两个极值点分别为x1 , x2 , 证明:x1x2>e2 .
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【题目】已知函数f(x)=lnx+ ,(a>0)
(1)当a=2时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)求函数f(x)在区间[1,2]的最小值.
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