Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，PA= a，AD=2a．

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一（几何法）：

过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，

则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．

在Rt△PAD中，∠PAD=90°，

由 ，得∠PDA=30°，∴ ．

∴AE=ADsin30°=a．

∵ ， ．

∴ ．

连接AC，∵在△ACD中，AD=2a， ， ，

∴AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC．

又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．∴ME⊥平面PAC．

∵MA平面PAC，∵ME⊥AM．

∴在Rt△AME中， ．

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为 ．

法二（向量法）：

如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），B（a，0，0）， ，C（a，a，0），D（0，2a，0）， ，

=（0， ）， =（﹣a，a，0）．

设AE与CD所成角为θ，

则cosθ= = ，

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为

（2）解：由题设知，CB⊥AB，CB⊥PA，则CB⊥平面PAB．

∴平面PAB的一个法向量为 =（0，a，0）．

设平面PCD的一个法向量为 =（x，y，z），

∵ =（a，a，﹣ a）， =（﹣a，a，0），∴由 =0， =0．

得 ，∴ ，令y=1，得 =（1，1， ）．

设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为α，

则cosα= = ．

∴tanα=2．

∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2．

【解析】向量法为解空间几何题提供了更一般的方法，使用时需建立合适的空间直角坐标系，而几何法可以充分的利用题目中条件的特殊性，使得解题的计算量大大下降.
【考点精析】通过灵活运用异面直线及其所成的角，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系即可以解答此题．