Question

15．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx与g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中f（x）是偶函数．
（Ⅰ） 求实数k的值；
（Ⅱ） 求函数g（x）的定义域；
（Ⅲ） 若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）令f（-x）=f（-x）恒成立，根据对数的运算性质解出k；
（II）令a•2^x-$\frac{4}{3}$a＞0，对a进行讨论得出x的范围；
（III）令f（x）=g（x），使用对数的运算性质化简，令2^x=t，则关于t的方程只有一正数解，对a进行讨论得出a的范围．

解答 解：（I）f（x）的定义域为R，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx恒成立，
∴log₄$\frac{{4}^{-x}+1}{{4}^{x}+1}$=2kx，即log₄$\frac{1}{{4}^{x}}$=2kx，
∴4^2kx=4^-x，∴2k=-1，即k=-$\frac{1}{2}$．
（II）由g（x）有意义得a•2^x-$\frac{4}{3}a$＞0，即a（2^x-$\frac{4}{3}$）＞0，
当a＞0时，2^x-$\frac{4}{3}$＞0，即2^x＞$\frac{4}{3}$，∴x＞log₂$\frac{4}{3}$，
当a＜0时，2^x-$\frac{4}{3}$＜0，即2^x＜$\frac{4}{3}$，∴x＜log₂$\frac{4}{3}$．
综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log₂$\frac{4}{3}$，+∞），
当a＜0时，g（x）的定义域为（-∞，log₂$\frac{4}{3}$）．
（III）令f（x）=g（x）得log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}a$），
∴log₄$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}a$），即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=a•2^x-$\frac{4}{3}a$，
令2^x=t，则（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0，
∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，
∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0只有一正数解，
（1）若a=1，则$\frac{4}{3}t$+1=0，t=-$\frac{3}{4}$，不符合题意；
（2）若a≠1，且$\frac{16}{9}{a}^{2}$-4（1-a）=0，即a=$\frac{3}{4}$或a=-3．
当a=$\frac{3}{4}$时，方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0的解为t=-2，不符合题意；
当a=-3时，方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0的解为t=$\frac{1}{2}$，符合题意；
（3）若方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0有一正根，一负根，则$\frac{1}{1-a}$＜0，∴a＞1，
综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．

点评 本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．