Question

20．已知数列{a_n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a₁，a₃，a₁₇成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，S_n是数列{b_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）设设数列{a_n}的公差为d，其又首项为1，a₁，a₃，a₁₇成等比数列，利用等比数列的性质可得（a₁+2d）²=a₁•（a₁+16d），求得公差d的值，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=3n-2，利用裂项法可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），累加即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）数列{a_n}是首项为1，公差不为0的等差数列，
设其公差为d，则a_n=1+（n-1）d．
因为a₁，a₃，a₁₇成等比数列，
所以（a₁+2d）²=a₁•（a₁+16d），
即（1+2d）²=1×（1+16d），解得d=3，
所以a_n=3n-2．
（2）因为b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，求得数列{a_n}的通项公式是关键，突出裂项法求和的应用，属于中档题．