Question

12．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，且线段AB的中点为M（2，2）．
（1）求抛物线的C的方程；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），由抛物线焦点坐标求得p，则抛物线方程可求；
（2）联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合线段AB的中点为M的坐标得答案．

解答 解：（1）依题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵焦点为F（1，0），∴$\frac{p}{2}=1$，得p=2．
∴所求抛物线方程为y²=4x；
（2）设直线l的方程为x-2=t（y-2），与抛物线y²=4x联立，
得y²=8+4ty-8t，∴y²-4ty+8t-8=0．
利用根与系数的关系可得y_A+y_B=4t，又AB的中点（2，2），
∴4t=2×2，解得t=1．
∴直线l的方程为：x-y=0．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．