Question

17．已知f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx+a（a∈R，a是常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若a=0，作出y=f（x）在[-π，π]上的图象；
（3）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx+a，利用两角和差的正弦公式及辅助角公式，即可求得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a，由函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=2π；
（2）由当a=0，y=f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），采用五点作图法，即可求得y=f（x）在[-π，π]上的图象；
（3）由（2）可知：y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象可知，当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值，最大值为2+a，则a+2=1，可得a的值-1．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx+a，
=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+sinxcos$\frac{π}{6}$-cosxsin$\frac{π}{6}$+cosx+a，
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a，
=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=2π；
（2）当a=0时，y=f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）
列表如下：

x	-π	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{3π}{2}$	-$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$0	$\frac{π}{2}$	0	$\frac{7π}{6}$
y	-1	-2	0	2	0	-1

对应的图象如下：

（3）由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，由（2）可知：当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值，最大值为2+a，
∴a+2=1，即a=-1，
∴a的值-1．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期及其求法，考查运用三角函数的恒等变换公式把f（x）化为一个角的正弦函数的能力，考查转换思想，属于中档题．