Question

17．已知集合M={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{x}{2}$-1）≥0}，函数g（x）=lg[（x-3）（2a+1-x）]的定义域为集合N．
（1）求集合M；
（2）若N⊆M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数不等式的解法即可求集合M；
（2）求出集合N，结合集合关系N⊆M，建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：（1）M={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{x}{2}$-1）≥0}=M={x|0＜$\frac{x}{2}$-1≤1}={x|2＜x≤4}．
（2）由（x-3）（2a+1-x）＞0得（x-3）[x-（2a+1）]＜0，
若2a+1=3得a=1，此时不等式不成立，
若2a+1＞3，即a＞1，则不等式的解为3＜x＜2a+1，即N=（3，2a+1），
若2a+1＜3，即a＜1，则不等式的解为2a+1＜x＜3，即N=（2a+1，3），
若N⊆M，
当a＞1时，满足2a+1≤4，即1＜a≤$\frac{3}{2}$，
若a＜1时，满足2a+1≥2，即$\frac{1}{2}$≤a＜1，
综上$\frac{1}{2}$≤a＜1或1＜a≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．