Question

12．已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=2n²-15n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的前n项和结合a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出数列的通项公式，再由等差数列的定义证明；
（2）由（1）可知等差数列为递增数列，求得数列前4项小于0，后面的项大于0，然后分类求得数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：由S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2n²-15n，
得a₁=-13，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=2{n}^{2}-15n-[2（n-1）^{2}-15（n-1）]$=4n-17．
当n=1时上式成立．
∴a_n=4n-17．
∴a_n+1-a_n=4（n+1）-17-4n+17=4为常数．
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）解：由（1）知，数列{a_n}的前n项和${S}_{n}=2{n}^{2}-15n$．
再由a_n=4n-17≤0，得$n≤\frac{17}{4}$，
∴数列{a_n}的前4项为负值，第4项以后的项为正值．
则当n≤4时，T_n=-${S}_{n}=15n-2{n}^{2}$；
当n＞4时，T_n=-2S₄+S_n=2n²-15n+56．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{15n-2{n}^{2}，n≤4}\\{2{n}^{2}-15n+56，n＞4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差关系的确定，考查了等差数列的前n项和，合理转化是解答该题的关键，是中档题．