Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F₁（-1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF₁O=45°．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆G交于A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m₁+m₂=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，可得b=c=1，从而a²=b²+c²=2，故可得椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（ⅰ）直线l₁：y=kx+m₁与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；
（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则 ，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．
解答：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．
因为F₁（-1，0），∠PF₁O=45°，所以b=c=1．
所以，a²=b²+c²=2．…（2分）
所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
（ⅰ）证明：由消去y得：．
则，…（5分）
所以 ===．
同理 ．…（7分）
因为|AB|=|CD|，
所以 ．
因为 m₁≠m₂，所以m₁+m₂=0．…（9分）
（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则 ．因为 m₁+m₂=0，所以 ．…（10分）
所以 =．
（或）
所以 当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．