Question

2．设a、b、c∈R满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-10a-11=0}\\{{a}^{2}-bc-4a-5=0}\end{array}\right.$，求ab+bc+ca的取值范围．

Answer 1

分析 整体观察已知与未知，会发现二者的相似之处是出现b²+c²、bc、b+c，于是联想到与一元二次方程知识组块有关．运用相关知识，可以把握解题方向．

解答 解：由题意，b²+c²=-a²+10a+11，bc=a²-4a-5，
∴b²+c²≥2|bc|，∴-a²+10a+11≥2|a²-4a-5|，
∴-1≤a≤7，
∵（b+c）²=b²+c²+2bc=（a+1）²，
∴|b+c|=|a+1|
b+c=a+1，ab+bc+ca=a（b+c）+bc=a（a+1）+a²-4a-5=2a²-3a-5=2（a-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{49}{8}$∈[-$\frac{49}{8}$，72]；
b+c=-（a+1），ab+bc+ca=a（b+c）+bc=-a（a+1）+a²-4a-5=-5a-5∈[-40，0]．

点评 本题考查求ab+bc+ca的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，发现二者的相似之处是出现b²+c²、bc、b+c，于是联想到与一元二次方程知识组块有关是解题的关键．