Question

（2012•北京）已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同时满足条件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是

（-4，-2）

．

Answer 1

分析：①由于g（x）=2^x-2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求
②由于x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，则f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）时成立，结合二次函数的性质可求

解答：解：对于①∵g（x）=2^x-2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面
则

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

∴-4＜m＜0即①成立的范围为-4＜m＜0
又∵②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2^x-2＜0恒成立
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，则只要-4比x₁，x₂中的较小的根大即可
（i）当-1＜m＜0时，-m-3＜-4不成立，
（ii）当m=-1时，有2等根，不成立
（iii）当-4＜m＜-1时，2m＜-4即m＜-2成立
综上可得①②成立时-4＜m＜-2
故答案为：（-4，-2）

点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键