Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且的面积．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的斜率取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）椭圆的方程为.（Ⅱ）存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是
.

试题分析：（Ⅰ）由题意知：.，且，由此可求得，，二者相加即得，从而得椭圆的方程. （Ⅱ）假设这样的直线存在，且直线的方程为，设与椭圆的两交点为、，若线段恰被直线平分，则.这显然用韦达定理.由得．
由得．再用韦达定理得，代入得，再将此式代入得一只含的不等式，解此不等式即得的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题意知：，                       （1分）
椭圆上的点满足，且，
．
，．
．                           （2分）
又．                          （3分）
椭圆的方程为．                           （4分）
（Ⅱ）假设这样的直线存在．与直线相交，直线的斜率存在.
设的方程为，                               （5分）
由得．（*）     （6分）
直线与椭圆有两个交点，
（*）的判别式，即．①  （7分）
设、，则．　         （8分）
被直线平分，可知，
，． ②　　　         （9分）
把②代入①，得，即．     （10分）
，．                                  （11分）
或．即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是
．                               （12分）