Question

19．已知圆心为C的圆经过点A（1，0）和B（-1，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）若线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆C上运动，求AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．
（2）线段CD中点M（x，y），C（x₁，y₁），由题意知x₁=2x-4，y₁=2y-3，由点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，能求出点M的轨迹方程．

解答 解：（1）设圆心的坐标为（t，t+1），
则有（t-1）²+（t+1）²=（t+1）²+（t+3）²，
整理求得t=-1，
故圆心为（-1，0），r²=（t-1）²+（t+1）²=4，
则圆的方程为（x+1）²+y²=4．
（2）设线段CD中点M（x，y），C（x₁，y₁），
由题意知：x₁=2x-4，y₁=2y-3，
∵点C在圆（x+1）²+y²=4上运动，
∴（2x-4+1）²+（2y-3）²=4，
∴M的轨迹方程为（x-1.5）²+（y-1.5）²=1．

点评 本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．