Question

7．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）△ABC中边a、b、c所对的角为A、B、C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=$\sqrt{3}$，当f（$\frac{B}{2}$）取最大值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将f（x）化简成y=Asin（ωx+φ）形式，带入周期公式求出；
（2）利用正弦定理将条件化简得出C，根据f（$\frac{B}{2}$）取最大值求出B，然后解三角形．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin（A+B）=2sinCcosC．
∴cosC=$\frac{1}{2}$．∴C=$\frac{π}{3}$．
f（$\frac{B}{2}$）=sin（B+$\frac{π}{3}$）+1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴当B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$时，f（$\frac{B}{2}$）取得最大值，
∴A=$\frac{π}{2}$．∴b=c•tanB=1，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与求值，正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．