Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=3a_n+1-3，则a_n=（　　）

• A． ${（{\frac{4}{3}}）^{n-1}}$
• B． ${（{\frac{3}{4}}）^{n-1}}$
• C． 3^n-1
• D． ${（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得S_n-1=3a_n-3（n≥2）．与原递推式作差后可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{4}{3}$（n≥2）．验证$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{4}{3}$，可得数列{a_n}构成以1为首项，以$\frac{4}{3}$为公比的等比数列，由此求得a_n．

解答 解：由S_n=3a_n+1-3，得
S_n-1=3a_n-3（n≥2）．
两式作差可得a_n=3a_n+1-3a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{4}{3}$（n≥2）．
∵a₁=1，S_n=3a_n+1-3，
∴${a}_{2}=\frac{4}{3}$，则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{4}{3}$．
∴数列{a_n}构成以1为首项，以$\frac{4}{3}$为公比的等比数列，
则${a}_{n}=（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．