Question

11．若在△ABC中，∠A=30°，b=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，则$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\frac{{\sqrt{21}}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{21}}{3}$
• D． $13\sqrt{2}$

Answer 1

分析 又A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．

解答 解：由∠A=30°，得到sinA=$\frac{1}{2}$，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又b=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×c×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，解得c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9+$\frac{16}{3}$-12=$\frac{7}{3}$，
解得a=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{21}}{3}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
则$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故选：C．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．