Question

【题目】在三棱柱中，侧面为矩形， ， ， 是的中点， 与交于点，且平面．

（1）证明：平面平面；

（2）若， 的重心为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）通过证明， ，推出平面，然后证明平面平面．（2）以为坐标原点，分别以， ， 所在直线为， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面的法向量，设直线与平面所成角，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．

试题解析：（1）∵为矩形， ， ， 是的中点，

∴， ， ， ，

从而， ，

∵， ，∴，

∴，

∴，从而，

∵平面， 平面，

∴，

∵，∴平面，

∵平面，

∴平面平面．

（2）如图，以为坐标原点，分别以， ， 所在直线为， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

在矩形中，由于，所以和相似，

从而，

又， ，

∴， ， ， ，

∴， ， ， ， ，

∵为的重心，∴， ，

设平面的法向量为，

， ，

由可得整理得

令，则， ，∴，

设直线与平面所成角，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．