Question

【题目】已知函数f（x）=loga （a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．
（1）求f（0）的值和实数m的值；
（2）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（0）=loga1=0．

因为f（x）是奇函数，

所以：f（﹣x）=﹣f（x）f（﹣x）+f（x）=0

∴loga +loga =0；

∴loga =0 =1，

即∴1﹣m2x2=1﹣x2对定义域内的x都成立．∴m2=1．

所以m=1或m=﹣1（舍）

∴m=1．

（2）解：∵m=1

∴f（x）=loga ，

∴t= ，

设﹣1＜x1＜x2＜1，则t1﹣t2= ﹣ = ，

∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0

∴t1＞t2．

当a＞1时，logat1＞logat2，即f（x1）＞f（x2）．

∴当a＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．

当0＜a＜1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴当0＜a＜1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数

【解析】（1）f（0）=loga1=0，利用奇函数的定义，即可求出实数m的值；（2）当m=1时，f（x）=loga ，t= ，判断其单调性，即可判断与证明函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数奇偶性的性质的理解，了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．