【题目】己知函数,
.
(I)求函数上零点的个数;
(II)设,若函数
在
上是增函数.
求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)零点个数为 (II)
的取值范围是
【解析】试题分析:(1)先求得,
时,
恒成立,可证明
时,
,可得
在
上单调递减,根据零点定理可得结果;(2)化简
为分段函数
,利用导数研究函数的单调性,讨论两种情况,分别分离参数求最值即可求得实数
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)函数
,
求导,得,
当时,
恒成立,
当时,
,
∴
,
∴在
上恒成立,故
在
上单调递减.
又,
,
曲线在[1,2]上连续不间断,
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知,唯一的∈(1,2),使
,
所以,函数在
上零点的个数为1.
(II)由(Ⅰ)知:当时,
>0,当
时,
<0.
∴当时,
=
求导,得
由于函数在
上是增函数, 故
在
,
上恒成立.
①当时,
≥0在
上恒成立,
即在
上恒成立,
记,
,则
,,
所以, 在
上单调递减,
在
上单调递增,
∴min=
极小值=
,
故“在
上恒成立”,只需
,即
.
②当时,
,
当时,
在
上恒成立,
综合①②知,当时,函数
在
上是增函数.
故实数的取值范围是
.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,
(1)若f(﹣1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零.
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【题目】如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.
(1)试探索∠BCP与∠P的数量关系;
(2)若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?
(3)∠A可能等于45°吗?为什么?
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【题目】已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若AB,求实数m的取值范围;
(3)若A∩B=,求实数m的取值范围.
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【题目】已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,记 =a ,
=b.则下列命题中正确的个数是( )
① =
a-b;②
=a+
b;③
=
a+
b;④
0.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知函数f(x)=loga (a>0,a≠1,m≠﹣1),是定义在(﹣1,1)上的奇函数.
(1)求f(0)的值和实数m的值;
(2)当m=1时,判断函数f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并给出证明.
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