Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①，

又x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），

∴ ②，

由①②消掉a得，b2﹣4（b﹣1）=0，

∴b=2，a=1，

∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．

∴

（2）解：由（1）知，g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1= ，

当 或 时，

即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是单调函数

（3）解：∵f（x）是偶函数，

∴f（x）=ax2+1， ，

∵mn＜0，设m＞n，则n＜0．

又m+n＞0，

∴m＞﹣n＞0，

∴|m|＞|﹣n|，

F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，

∴F（m）+F（n）能大于零

【解析】（1）由f（﹣1）=0得a﹣b+1=0①，由x∈R，f（x）的值域为[0，+∞），得∴ ②，联立①②可解a，b；（2）由（1）表示出g（x），根据抛物线对称轴与区间[﹣2，2]位置可得不等式，解出即可；（3）由f（x）为偶函数可得b=0，从而可表示出F（x），由mn＜0，不妨设m＞0，n＜0，则m＞﹣n＞0，即|m|＞|﹣n|，由此刻判断F（m）+F（n）的符号；
【考点精析】认真审题，首先需要了解奇偶性与单调性的综合(奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性)．