Question

【题目】如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.

（1）试探索∠BCP与∠P的数量关系;
（2）若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?
（3）∠A可能等于45°吗?为什么?

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PC是切线,

∴∠BCP=∠A.

又∵AB是直径,

∴∠ACB=90°.

在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,

∴∠BCP+∠P+∠ACB+∠BCP=180°.

∴2∠BCP+∠P+90°=180°.

∴∠P=90°-2∠BCP.

（2）解：若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30°,∠ABC=60°.

∴∠P=30°,∴PB=BC,BC= AB.

∴PB= PA,即PA=3PB.

（3）解：∠A不可能等于45°.

原因:设∠A=45°,则∠ABC=45°,∠BCP=45°,

∴CP∥AB,与题干中PC与AB交于点P矛盾,

∴∠A不可能等于45°.

【解析】本题主要考查了弦切角的性质，解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给几何条件分析计算即可解决问题，有一定难度.