【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5,∴AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),
D .
∵ ,∴
,即AC⊥BC1
(2)证明:设CB1∩C1B=E,则E(0,2,2), ,
∴ ,即DE∥AC1,∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1
(3)解: =
,设平面CDB1的一个法向量为
=(x,y,z),则
,则
,
可求得平面CDB1的一个法向量为 =(4,﹣3,3).
取平面CDB的一个法向量为 ,
则 =
=
=
.
由图可知,二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为 .
【解析】(1)直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5,∴AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.只要证明 ,即可证明AC⊥BC1 . (2)设CB1∩C1B=E,则E(0,2,2),可得
,即DE∥AC1 , 即可证明AC1∥平面CDB1 . (3)设平面CDB1的一个法向量为
=(x,y,z),则
,可求得平面CDB1的一个法向量为
.取平面CDB的一个法向量为
,利用
=
即可得出.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为( )(结果保留一位小数.参考数据:,
)( )
A. 1.3日 B. 1.5日 C. 2.6日 D. 2.8日
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
,且直线
与圆
相交于不同的
,
两点.
(1)求线段垂直平分线
的极坐标方程;
(2)若,求过点
与圆
相切的切线方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
分别为等差数列和等比数列,
,
的前
项和为
.函数
的导函数是
,有
,且
是函数
的零点.
(1)求的值;
(2)若数列公差为
,且点
,当
时所有点都在指数函数
的图象上.
请你求出解析式,并证明:
.
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【题目】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC= ,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
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