Question

4．已知函数f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），试求：
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，则[-1，1）必为函数某一单调区间的子区间，先带着参数a求函数的单调区间，再比较[-1，1）区间端点与函数的几个单调区间的端点大小，即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）=-4ln（1-x）+x²，定义域为（-∞，1），
f′（x）=2x+$\frac{4}{1-x}$=$\frac{-2（x-2）（x+1）}{1-x}$，
令f'（x）＞0，解得：得x＞-1，令f′（x）＜0，解得：x＜-1，
故f（x）在（-1，1）递增，在（-∞，-1）递减，
f（x）_极小值=f（-1）=1-4ln2．
（2）f′（x）=2x-$\frac{2a}{1-x}$，若f'（x）≥0，
即2x-$\frac{2a}{1-x}$≥0⇒a≤[x（1-x）]_min⇒a≤-2，
若f'（x）≤0，即2x-$\frac{2a}{1-x}$≤0⇒a≥[x（1-x）]_max⇒a≥$\frac{1}{4}$，
所以a≤-2或a≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了应用导数求极值，单调区间，以及导数和数列的综合应用．