Question

9．如图，在三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF=FD，若三棱锥A-BEF的体积是1，则四棱锥B-ECDF的体积为5．

Answer 1

分析 设点B到平面ACD的距离为h，则V_A-BEF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AE×AF×sin∠EAF）$=1，从而V_B-ACD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×2AE×3AF×sin∠EAF）$=6，四棱锥B-ECDF的体积V=V_B-ACD-V_A-AEF，由此能求出结果．

解答 解：设点B到平面ACD的距离为h，
∵在三棱锥A-BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF=FD，三棱锥A-BEF的体积是1，
∴V_A-BEF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△AEF}$=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AE×AF×sin∠EAF）$=1，
∴V_B-ACD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AC×AD×sin∠CAD）$
=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×2AE×3AF×sin∠EAF）$=6×[$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AE×AF×sin∠EAF）$]=6．
∴四棱锥B-ECDF的体积V=V_B-ACD-V_A-BEF=6-1=5．
故答案为：5．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．