Question

17．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n}对任意正整数n，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+\frac{c_3}{b_3}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₄的值．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{b_n}的公比为q，则1+d=b₁q，1+4d=${b}_{1}{q}^{2}$，1+13d=b₁q³，d＞0．联立解出即可得出．（2）数列{c_n}对任意正整数n，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+\frac{c_3}{b_3}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，n=1时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$=a₂，解得c₁．n≥2时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}+\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n，相减可得$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=d，可得c_n=2×3^n-1，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{b_n}的公比为q，则1+d=b₁q，1+4d=${b}_{1}{q}^{2}$，1+13d=b₁q³，d＞0．
联立解得：d=2，q=3，b₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b_n=3^n-1．
（2）数列{c_n}对任意正整数n，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+\frac{c_3}{b_3}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，
n=1时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$=a₂，解得c₁=3．
n≥2时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}+\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n，
∴$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=d，可得c_n=2×3^n-1，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₄=$2×\frac{{3}^{2004}-1}{3-1}$=3²⁰⁰⁴-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．