Question

7．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f′（x）的导数．若方程f''（x）=0有实数解x₀，则该点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$
请你根据这一发现，
（1）求函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$的对称中心；
（2）计算$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{2016}{2017}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=2，即可得到结论．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
由f″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而f（$\frac{1}{2}$）=1，
故函数f（x）关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，
（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=2，
故设f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=m，
则f（$\frac{2016}{2017}$）+f（ $\frac{2015}{2017}$）+…+f（ $\frac{1}{2017}$）=m，
两式相加得2×2016=2m，
则m=2016．

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．