Question

2．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点

（1）求证：EF∥平面ABD
（2）若θ=$\frac{π}{3}$，求二面角F-BD-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，推导出平面EHF∥平面ABD，由此能证明EF∥平面ABD．
（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-BD-O的余弦值．

解答 证明：（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，
则H为CD中点，∴HF∥AD
∵AD?平面ABD，HF?平面ABD，
∴HF∥平面ABD，
同理，EH∥平面ABD，
∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，
∵EF?平面EHF，∴EF∥平面ABD．
解：（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，
连结BF，∵θ=$\frac{π}{3}$，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，
以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F（0，0，0），B（0，0，$\sqrt{3}$），D（-1，2，0），O（1，0，0），
设平面FBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FB}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FD}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，解得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，0）
同理得平面BDO的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，1），
设二面角F-BD-O的平面角为α，
cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{105}}{35}$，
∴二面角F-BD-O的余弦值为$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查空间直线与增面的位置关系、空间角、数学建模，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．